Maxwell-vergelijkingen begrijpen

Maxwell-vergelijkingen zijn de grondbeginselen van de elektromagnetische theorie, die een reeks van vier vergelijkingen vormt die de elektrische en magnetische velden met elkaar in verband brengen. In plaats van de wiskundige weergave van Maxwell-vergelijkingen op te sommen, zullen we ons in dit artikel concentreren op wat de werkelijke betekenis van die vergelijkingen is. De eerste en tweede vergelijking van Maxwell behandelt respectievelijk statische elektrische velden en statische magnetische velden. De derde en vierde vergelijking van Maxwell behandelt respectievelijk veranderende magnetische velden en veranderende elektrische velden.

De Maxwell-vergelijkingen zijn:

1. Gauss-wet van elektriciteit
2. Gauss-wet van magnetisme
3. Faraday's wet van inductie
4. De wet van Ampère

1. Gauss-wet van elektriciteit

Deze wet stelt dat de elektrische flux uit een gesloten oppervlak evenredig is met de totale lading die door dat oppervlak wordt omsloten. De Gauss-wet behandelt het statische elektrische veld.

Laten we eens kijken naar een positieve puntlading Q. We weten dat de elektrische fluxlijnen naar buiten gericht zijn vanaf de positieve lading.

Laten we eens een gesloten oppervlak met Charge Q _ingesloten daarin. De Area Vector wordt altijd Normaal gekozen omdat deze de oriëntatie van het oppervlak vertegenwoordigt. Laat de hoek gemaakt door de elektrische veldvector met de oppervlaktevector θ zijn.

De elektrische flux ψ is

De reden om het puntproduct te kiezen, is dat we moeten berekenen hoeveel elektrische flux door het oppervlak gaat dat wordt weergegeven door een normale oppervlaktevector.

Uit de wet van coulomb weten we dat het elektrische veld (E) als gevolg van een puntlading Q / 4πε ₀ r ^{2 is}.

Gezien een sferische symmetrie, is de integrale vorm van de Gauss-wet:

Daarom is de elektrische flux Ψ = Q _ingesloten / ε ₀

Hier vertegenwoordigt de _omsloten Q de vectorsom van alle ladingen binnen het oppervlak. Het gebied dat de lading omsluit, kan elke vorm hebben, maar om de Gauss-wet toe te passen, moeten we een Gauss-oppervlak selecteren dat symmetrisch is en een uniforme ladingsverdeling heeft. Het Gaussische oppervlak kan cilindrisch, bolvormig of vlak zijn.

Om zijn differentiële vorm af te leiden, moeten we de divergentiestelling toepassen.

De bovenstaande vergelijking is de differentiële vorm van Gauss Law of Maxwell vergelijking I.

In de bovenstaande vergelijking staat ρ voor de volumeladingsdichtheid. Wanneer we de Gauss-wet moeten toepassen op een oppervlak met een lijnlading of oppervlakteladingsverdeling, is het handiger om de vergelijking met ladingsdichtheid weer te geven.

Daarom kunnen we concluderen dat de divergentie van een elektrisch veld over een gesloten oppervlak de hoeveelheid lading (ρ) geeft die erdoor wordt ingesloten. Door divergentie toe te passen op een vectorveld, kunnen we weten of het oppervlak dat door het vectorveld wordt omsloten, als een bron of een put fungeert.

Laten we eens kijken naar een balk met een positieve lading zoals hierboven weergegeven. Wanneer we divergentie toepassen op het elektrische veld dat uit de doos komt (kubusvormig), vertelt het resultaat van de wiskundige uitdrukking ons dat de beschouwde doos (kubusvormig) fungeert als een bron voor het berekende elektrische veld. Als het resultaat negatief is, vertelt het ons dat de doos als een gootsteen fungeert, dwz dat de doos een negatieve lading bevat. Als de divergentie nul is, betekent dit dat er geen lading in zit.

Hieruit kunnen we afleiden dat er elektrische monopolen bestaan.

2. Gauss-wet van magnetisme

We weten dat de magnetische fluxlijn extern van noordpool naar zuidpool stroomt.

Omdat er magnetische fluxlijnen zijn als gevolg van een permanente magneet, zal er een bijbehorende magnetische fluxdichtheid (B) van zijn. Wanneer we de divergentiestelling toepassen op oppervlak S1, S2, S3 of S4, zien we dat het aantal fluxlijnen dat het geselecteerde oppervlak binnenkomt en verlaat hetzelfde blijft. Daarom is het resultaat van de divergentiestelling nul. Zelfs in het oppervlak S2 en S4 is de divergentie nul, wat betekent dat noch de noordpool, noch de zuidpool afzonderlijk als bron of zinken fungeert zoals de elektrische ladingen. Zelfs als we divergentie van het magnetische veld (B) toepassen vanwege een stroomvoerende draad, blijkt het nul te zijn.

De integrale vorm van de Gauss-wet van magnetisme is:

De differentiële vorm van de Gauss-wet van magnetisme is:

Hieruit kunnen we afleiden dat magnetische monopolen niet bestaan.

3. De inductiewet van Faraday

De wet van Faraday stelt dat wanneer er een verandering is in de magnetische flux (verandering met betrekking tot de tijd) die een spoel of een geleider verbindt, er een EMF in de spoel zal worden geïnduceerd. Lenz's verklaarde dat de opgewekte EMF in een zodanige richting zal zijn dat het de verandering in magnetische flux die het produceert, tegenwerkt.

In de bovenstaande illustratie, wanneer een geleidende plaat of een geleider onder invloed van een veranderend magnetisch veld wordt gebracht, wordt daarin circulatiestroom geïnduceerd. De stroom wordt in een zodanige richting geïnduceerd dat het magnetische veld dat erdoor wordt geproduceerd, zich verzet tegen het veranderende magnetische veld dat het heeft gecreëerd. Uit deze illustratie is het duidelijk dat veranderend of variërend magnetisch veld een circulerend elektrisch veld creëert.

Van de wet van Faraday, emf = - dϕ / dt

We weten dat, ϕ = _{gesloten oppervlak} ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS

Elektrisch veld E = V / d

V = ʃ E.dl

Omdat het elektrische veld verandert ten opzichte van het oppervlak (krul), bestaat er een potentiaalverschil V.

Daarom is de integrale vorm van de vierde vergelijking van Maxwell,

Door de stelling van Stoke toe te passen,

De reden voor het toepassen van de stelling van Stoke is dat wanneer we een krul van een roterend veld over een gesloten oppervlak maken, de interne curlcomponenten van de vector elkaar opheffen en dit resulteert in het evalueren van het vectorveld langs het gesloten pad.

Daarom kunnen we dat schrijven,

De differentiële vorm van de vergelijking van Maxwell is

Uit de bovenstaande uitdrukking is het duidelijk dat een magnetisch veld dat verandert met betrekking tot de tijd een circulerend elektrisch veld produceert.

Opmerking: in de elektrostatica is de krul van een elektrisch veld nul omdat het radiaal naar buiten toe uit de lading komt en er geen roterende component mee is geassocieerd.

4. De wet van Ampère

De wet van Ampere stelt dat wanneer een elektrische stroom door een draad stroomt, deze een magnetisch veld eromheen produceert. Wiskundig gezien geeft de lijnintegraal van het magnetische veld rond een gesloten lus de totale stroom die erdoor wordt ingesloten.

ʃ B .dl = μ ₀ I ingesloten

Omdat het magnetische veld rond de draad krult, kunnen we de stelling van Stoke toepassen op de wet van Ampere.

Daarom wordt de vergelijking

We kunnen de ingesloten stroom weergeven in termen van stroomdichtheid J.

B = μ ₀ H door deze relatie te gebruiken, kunnen we de uitdrukking schrijven als

Wanneer we divergentie toepassen op de krul van een roterend vectorveld, is het resultaat nul. Het is omdat het gesloten oppervlak niet fungeert als een bron of zink, dwz het aantal fluxen dat het oppervlak binnenkomt en uitgaat is hetzelfde. Dit kan wiskundig worden weergegeven als,

Laten we een circuit bekijken zoals hieronder geïllustreerd.

Op het circuit is een condensator aangesloten. Wanneer we divergentie toepassen in het gebied S1, laat het resultaat zien dat het niet nul is. In wiskundige notatie,

Er loopt een stroom in het circuit, maar in de condensator worden de ladingen overgedragen als gevolg van een veranderend elektrisch veld over de platen. Dus fysiek stroomt de stroom er niet doorheen. Maxwell bedacht deze veranderende elektrische flux als verplaatsingsstroom (J _D). Maar Maxwell bedacht de term verplaatsingsstroom (J _D) gezien de symmetrie van de wet van Faraday, dwz als een magnetisch veld dat in de tijd verandert een elektrisch veld produceert, produceert het veranderende elektrische veld door symmetrie een magnetisch veld.

De krul van magnetische veldintensiteit (H) in het gebied S1 is

De integrale vorm van de vierde vergelijking van Maxwell kan worden uitgedrukt als:

De differentiaalvorm van de vierde vergelijking van Maxwell is:

Al deze vier vergelijkingen, hetzij in de integrale vorm of in de differentiële vorm, worden samen de Maxwell-vergelijking genoemd.