- Analoge of digitale filters
- Actieve of passieve filters
- Filters op basis van audio of radiofrequentie
- Filters op basis van frequentieselectie
- Eerste bestelling Butterworth-laagdoorlaatfilter
- Butterworth laagdoorlaatfilter van tweede orde
- Second-Order Low Pass Butterworth Filter Derivation -Aliter
Elektrische filters hebben veel toepassingen en worden op grote schaal gebruikt in veel signaalverwerkingsschakelingen. Het wordt gebruikt voor het kiezen of elimineren van signalen met een geselecteerde frequentie in een compleet spectrum van een bepaalde ingang. Het filter wordt dus gebruikt om signalen van de gekozen frequentie erdoorheen te laten gaan of om signalen van de gekozen frequentie die erdoorheen gaan te elimineren.
Momenteel zijn er veel soorten filters beschikbaar en deze zijn op veel manieren gedifferentieerd. En we hebben veel filters behandeld in eerdere tutorials, maar de meest populaire differentiatie is gebaseerd op,
- Analoog of digitaal
- Actief of passief
- Audio of radiofrequentie
- Frequentie selectie
Analoge of digitale filters
We weten dat signalen die door de omgeving worden gegenereerd, analoog van aard zijn, terwijl de signalen die in digitale circuits worden verwerkt, digitaal van aard zijn. We moeten overeenkomstige filters gebruiken voor analoge en digitale signalen om het gewenste resultaat te krijgen. We moeten dus analoge filters gebruiken bij het verwerken van analoge signalen en digitale filters gebruiken bij het verwerken van digitale signalen.
Actieve of passieve filters
De filters zijn ook verdeeld op basis van de componenten die zijn gebruikt bij het ontwerpen van de filters. Als het ontwerp van het filter volledig is gebaseerd op passieve componenten (zoals weerstand, condensator en inductor), dan wordt het filter passief filter genoemd. Aan de andere kant, als we een actieve component (op-amp, spanningsbron, stroombron) gebruiken tijdens het ontwerpen van een circuit, wordt het filter een actief filter genoemd.
In de volksmond heeft echter een actief filter de voorkeur boven een passief, omdat ze veel voordelen hebben. Enkele van deze voordelen worden hieronder genoemd:
- Geen laadprobleem: we weten dat we in een actief circuit een op-amp gebruiken die een zeer hoge ingangsimpedantie en een lage uitgangsimpedantie heeft. In dat geval, wanneer we een actief filter op een circuit aansluiten, zal de stroom die door de op-amp wordt getrokken zeer verwaarloosbaar zijn omdat het een zeer hoge ingangsimpedantie heeft en daardoor het circuit geen last ondervindt wanneer het filter is aangesloten.
- Aanpassingsflexibiliteit: in passieve filters is de versterking of signaalversterking niet mogelijk omdat er geen specifieke componenten zijn om een dergelijke taak uit te voeren. Aan de andere kant hebben we in een actief filter een op-amp die een hoge versterking of signaalversterking aan de ingangssignalen kan leveren.
- Flexibiliteit in frequentieaanpassing: actieve filters hebben een grotere flexibiliteit bij het aanpassen van de afsnijfrequentie in vergelijking met passieve filters.
Filters op basis van audio of radiofrequentie
De componenten die bij het ontwerp van filter worden gebruikt, veranderen afhankelijk van de toepassing van het filter of waar de opstelling wordt gebruikt. RC-filters worden bijvoorbeeld gebruikt voor audio- of laagfrequente toepassingen, terwijl LC-filters worden gebruikt voor radio- of hoogfrequente toepassingen.
Filters op basis van frequentieselectie
De filters zijn ook verdeeld op basis van de signalen die door het filter gaan
Laagdoorlaatfilter:
Alle signalen boven de geselecteerde frequenties worden verzwakt. Er zijn twee soorten: actief laagdoorlaatfilter en passief laagdoorlaatfilter. De frequentierespons van het laagdoorlaatfilter wordt hieronder weergegeven. Hier is de gestippelde grafiek de ideale grafiek van het laagdoorlaatfilter en een zuivere grafiek is de daadwerkelijke respons van een praktisch circuit. Dit gebeurde omdat een lineair netwerk geen discontinu signaal kan produceren. Zoals te zien is in de figuur, ervaren ze na het bereiken van de afsnijfrequentie fH verzwakking en na een bepaalde hogere frequentie worden de signalen die aan de ingang worden gegeven volledig geblokkeerd.
Hoogdoorlaatfilter:
Alle signalen boven de geselecteerde frequenties verschijnen aan de uitgang en een signaal onder die frequentie wordt geblokkeerd. Er zijn twee soorten: actief hoogdoorlaatfilter en passief hoogdoorlaatfilter. De frequentierespons van een hoogdoorlaatfilter wordt hieronder weergegeven. Hier is een gestippelde grafiek de ideale grafiek van het hoogdoorlaatfilter en een zuivere grafiek is de daadwerkelijke respons van een praktisch circuit. Dit gebeurde omdat een lineair netwerk geen discontinu signaal kan produceren. Zoals weergegeven in de figuur, ervaren ze verzwakking totdat de signalen een frequentie hebben die hoger is dan de afsnijfrequentie fL.
Banddoorlaatfilter:
In dit filter mogen alleen signalen van het geselecteerde frequentiebereik aan de uitgang verschijnen, terwijl signalen van elke andere frequentie worden geblokkeerd. De frequentierespons van het banddoorlaatfilter wordt hieronder weergegeven. Hier is de gestippelde grafiek de ideale banddoorlaatfiltergrafiek en een zuivere grafiek is de daadwerkelijke respons van een praktisch circuit. Zoals getoond in de figuur mogen de signalen op het frequentiebereik van fL tot fH door het filter gaan, terwijl signalen van een andere frequentie verzwakt worden. Lees hier meer over Band Pass Filter.
Bandweigeringsfilter:
De bandverwijderingsfilterfunctie is precies het tegenovergestelde van het banddoorlaatfilter. Alle frequentiesignalen met een frequentiewaarde in het geselecteerde bandbereik aan de ingang worden geblokkeerd door het filter, terwijl signalen van een andere frequentie aan de uitgang mogen verschijnen.
All pass filter:
Signalen van elke frequentie mogen door dit filter gaan, behalve dat ze een faseverschuiving ervaren.
Op basis van de toepassing en kosten kan de ontwerper het juiste filter kiezen uit verschillende typen.
Maar hier kunt u op de outputgrafieken zien dat de gewenste en daadwerkelijke resultaten niet exact hetzelfde zijn. Hoewel deze fout in veel toepassingen is toegestaan, hebben we soms een nauwkeuriger filter nodig waarvan de uitvoergrafiek meer naar het ideale filter neigt. Deze bijna ideale respons kan worden bereikt door speciale ontwerptechnieken, precisiecomponenten en supersnelle op-amps te gebruiken.
Butterworth, Caur en Chebyshev zijn enkele van de meest gebruikte filters die een bijna ideale responscurve kunnen bieden. Hierin zullen we het Butterworth-filter hier bespreken, omdat dit de meest populaire van de drie is.
De belangrijkste kenmerken van het Butterworth-filter zijn:
- Het is een filter op basis van RC (Resistor, Capacitor) & Op-amp (operationele versterker)
- Het is een actief filter, dus de versterking kan indien nodig worden aangepast
- Het belangrijkste kenmerk van Butterworth is dat het een platte doorlaatband en een platte stopband heeft. Dit is de reden waarom het meestal 'flat-flat filter' wordt genoemd.
Laten we nu het circuitmodel van het Low Pass Butterworth-filter bespreken voor een beter begrip.
Eerste bestelling Butterworth-laagdoorlaatfilter
De figuur toont het circuitmodel van het eerste-orde laagdoorlaatfilter van Butter Worth.
In het circuit hebben we:
- Spanning 'Vin' als een ingangsspanningssignaal dat analoog van aard is.
- Spanning 'Vo' is de uitgangsspanning van de operationele versterker.
- Weerstanden 'RF' en 'R1' zijn de tegenkoppelweerstanden van de operationele versterker.
- Er is een enkel RC-netwerk (gemarkeerd in het rode vierkant) aanwezig in het circuit, daarom is het filter een laagdoorlaatfilter van de eerste orde
- 'RL' is de belastingsweerstand die is aangesloten op de op-amp-uitgang.
Als we de spanningsdelerregel gebruiken op punt 'V1', kunnen we de spanning over de condensator krijgen als, V 1 = V in Hier -jXc = 1 / 2ᴫfc
Na vervanging van deze vergelijking hebben we zoiets als hieronder
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Nu wordt de op-amp hier gebruikt in een negatieve feedbackconfiguratie en in een dergelijk geval wordt de uitgangsspanningsvergelijking gegeven als, V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Dit is een standaardformule en u kunt opamp-circuits bekijken voor meer details.
Als we de V1-vergelijking in Vo indienen, hebben we, V0 = (1 + R F / R 1)
Na het herschrijven van deze vergelijking kunnen we hebben, V 0 / V in = EEN F / (1 + j (f / f L))
In deze vergelijking,
- V 0 / V in = versterking van het filter als functie van frequentie
- AF = (1 + R F / R 1) = doorlaatbandversterking van het filter
- f = frequentie van het ingangssignaal
- f L = 1 / 2ᴫRC = afsnijfrequentie van het filter. We kunnen deze vergelijking gebruiken om de juiste weerstands- en condensatorwaarden te kiezen om de afsnijfrequentie van het circuit te selecteren.
Als we de bovenstaande vergelijking in een polaire vorm omzetten, hebben we,
We kunnen deze vergelijking gebruiken om de verandering in versterkingsgrootte te observeren met de verandering in de frequentie van het ingangssignaal.
Geval1: f <
Dus als de ingangsfrequentie erg lager is dan de filterafsnijfrequentie, is de versterkingsgrootte ongeveer gelijk aan de lusversterking van de op-amp.
2e voorbeeld: f = f L. Als de ingangsfrequentie gelijk is aan de afsnijfrequentie van het filter,
Dus als de ingangsfrequentie gelijk is aan de filterafsnijfrequentie, is de versterkingsgrootte 0,707 keer de lusversterking van de op-amp.
Case3: f> f L. Als de ingangsfrequentie hoger is dan de afsnijfrequentie van het filter,
Zoals je aan het patroon kunt zien, zal de versterking van het filter hetzelfde zijn als de versterking van de op-amp totdat de frequentie van het ingangssignaal lager is dan de afsnijfrequentie. Maar zodra de frequentie van het ingangssignaal de afsnijfrequentie bereikt, neemt de versterking marginaal af, zoals te zien is in geval twee. En naarmate de frequentie van het ingangssignaal nog verder toeneemt, neemt de versterking geleidelijk af totdat deze nul bereikt. Dus het laagdoorlaat Butterworth-filter laat het ingangssignaal aan de uitgang verschijnen totdat de frequentie van het ingangssignaal lager is dan de afsnijfrequentie.
Als we de frequentieresponsgrafiek voor het bovenstaande circuit hebben getekend, hebben we,
Zoals te zien is in de grafiek, zal de versterking lineair zijn totdat de frequentie van het ingangssignaal de afsnijfrequentiewaarde overschrijdt en zodra dit gebeurt, neemt de versterking aanzienlijk af, evenals de waarde van de uitgangsspanning.
Butterworth laagdoorlaatfilter van tweede orde
De afbeelding toont het circuitmodel van het 2e orde Butterworth laagdoorlaatfilter.
In het circuit hebben we:
- Spanning 'Vin' als een ingangsspanningssignaal dat analoog van aard is.
- Spanning 'Vo' is de uitgangsspanning van de operationele versterker.
- Weerstanden 'RF' en 'R1' zijn de tegenkoppelweerstanden van de operationele versterker.
- Er is een dubbel RC-netwerk (gemarkeerd in een rood vierkant) aanwezig in het circuit, vandaar dat het filter een laagdoorlaatfilter van de tweede orde is.
- 'RL' is de belastingsweerstand die is aangesloten op de op-amp-uitgang.
Second Order Low Pass Butterworth Filter Derivation
Filters van de tweede orde zijn belangrijk omdat filters van hogere orde zijn ontworpen met behulp van deze filters. De versterking van de tweede orde filter wordt door R1 en RF vastgelegd, terwijl de afsnijfrequentie f H wordt bepaald door R 2, R 3, C 2 en C 3 waarden. De afleiding voor de afsnijfrequentie wordt als volgt gegeven, f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
De spanningsversterkingsvergelijking voor dit circuit kan ook op dezelfde manier worden gevonden als voorheen en deze vergelijking wordt hieronder gegeven,
In deze vergelijking,
- V 0 / V in = versterking van het filter als functie van frequentie
- A F = (1 + R F / R 1) doorlaatbandversterking van het filter
- f = frequentie van het ingangssignaal
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = afsnijfrequentie van het filter. We kunnen deze vergelijking gebruiken om de juiste weerstands- en condensatorwaarden te kiezen om de afsnijfrequentie van het circuit te selecteren. Ook als we dezelfde weerstand en condensator in het RC-netwerk kiezen, wordt de vergelijking,
We kunnen de vergelijking van de spanningsversterking gebruiken om de verandering in versterkingsgrootte te observeren met de overeenkomstige verandering in de frequentie van het ingangssignaal.
Geval1: f <
Dus als de ingangsfrequentie erg lager is dan de filterafsnijfrequentie, is de versterkingsgrootte ongeveer gelijk aan de lusversterking van de op-amp.
2e voorbeeld: f = f H. Als de ingangsfrequentie gelijk is aan de afsnijfrequentie van het filter,
Dus als de ingangsfrequentie gelijk is aan de filterafsnijfrequentie, is de versterkingsgrootte 0,707 keer de lusversterking van de op-amp.
Case3: f> f H. Als de ingangsfrequentie echt hoger is dan de afsnijfrequentie van het filter,
Net als bij het eerste-orde filter, zal de versterking van het filter hetzelfde zijn als de op-amp-versterking totdat de frequentie van het ingangssignaal lager is dan de afsnijfrequentie. Maar zodra de frequentie van het ingangssignaal de afsnijfrequentie bereikt, neemt de versterking marginaal af, zoals te zien is in geval twee. En naarmate de frequentie van het ingangssignaal nog verder toeneemt, neemt de versterking geleidelijk af totdat deze nul bereikt. Dus het laagdoorlaat Butterworth-filter laat het ingangssignaal aan de uitgang verschijnen totdat de frequentie van het ingangssignaal lager is dan de afsnijfrequentie.
Als we de frequentieresponsgrafiek voor het bovenstaande circuit tekenen, hebben we,
Nu vraag je je misschien af waar het verschil is tussen eerste-orde filter en tweede-orde filter ? Het antwoord staat in de grafiek. Als je goed observeert, kun je zien dat nadat de frequentie van het ingangssignaal de afsnijfrequentie overschrijdt, de grafiek een steile daling krijgt en deze daling is duidelijker in de tweede orde dan in de eerste orde. Met deze steile helling zal het Butterworth-filter van de tweede orde meer geneigd zijn naar de ideale filtergrafiek in vergelijking met een Butterworth-filter van één orde.
Dit is hetzelfde voor het Butterworth-laagdoorlaatfilter van de derde orde, het Butterworth-laagdoorlaatfilter van de vierde orde, enzovoort. Hoe hoger de volgorde van het filter, hoe meer de versterkingsgrafiek neigt naar een ideale filtergrafiek. Als we de winstgrafiek tekenen voor Butterworth-filters van een hogere orde, hebben we zoiets als dit:
In de grafiek vertegenwoordigt de groene curve de ideale filtercurve en u kunt zien dat de volgorde van het Butterworth-filter toeneemt, dat de gain-grafiek meer naar de ideale curve neigt. Dus hoe hoger de volgorde van het gekozen Butterworth-filter, hoe idealer de versterkingscurve zal zijn. Met dat gezegd zijnde, kun je niet gemakkelijk een filter van een hogere orde kiezen, omdat de nauwkeurigheid van het filter afneemt naarmate de volgorde toeneemt. Daarom kunt u het beste de volgorde van een filter kiezen terwijl u de vereiste nauwkeurigheid in de gaten houdt.
Second-Order Low Pass Butterworth Filter Derivation -Aliter
Nadat het artikel was gepubliceerd, kregen we een mail van Keith Vogel, een gepensioneerde elektrotechnisch ingenieur. Hij had een ruime bekendheid fout in de beschrijving van een 2 merkte tweede orde low pass filter en bood zijn uitleg om dit te corrigeren luidt als volgt.
Dus laat me het ook goed doen:
En ga dan zeggen dat de afsnijfrequentie van -6db wordt beschreven door de vergelijking:
f c = 1 / (
Dit is echter gewoon niet waar! Laat je me geloven. Laten we een circuit maken waarin R1 = R2 = 160 en C1 = C2 = 100 nF (0,1 uF). Gezien de vergelijking zouden we een frequentie van -6db moeten hebben van:
f c = 1 / (
Laten we doorgaan en het circuit simuleren en kijken waar het -6db-punt is:
Oh, het simuleert naar 6,33 kHz NIET 9,947 kHz; maar de simulatie is NIET VERKEERD!
Ter informatie, ik heb -6.0206db gebruikt in plaats van -6db omdat 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 een iets dichter getal is dan -6, en om een nauwkeurigere gesimuleerde frequentie voor onze vergelijkingen te krijgen, wilde ik gebruiken iets dichterbij dan slechts -6db. Als Ik wilde de frequentie geschetst door de vergelijking te bereiken, zou ik buffer tussen de 1 e en 2 e fase van het filter. Een nauwkeuriger circuit voor onze vergelijking zou zijn:
En hier zien we dat ons -6,0206db-punt simuleert naar 9,945 kHz, veel dichter bij onze berekende 9,947 kHz. Hopelijk geloof je me dat er een fout is! Laten we het nu hebben over hoe de fout is ontstaan en waarom dit gewoon een slechte techniek is.
De meeste beschrijvingen beginnen met een 1e orde laagdoorlaatfilter, met de impedantie als volgt.
En u krijgt een eenvoudige overdrachtsfunctie van:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Dan zeggen ze dat als je er gewoon 2 samenvoegt om een filter voor de 2e orde te maken, je:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Waar H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Wat, wanneer berekend, zal resulteren in de vergelijking fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Hier is de fout, de reactie van H 1 (s) is NIET onafhankelijk van H 2 (s) in het circuit, je kunt niet zeggen H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
De impedantie van H 2 (s) beïnvloedt de respons van H 1 (s). En dus waarom deze schakeling werkt, omdat de opamp H 2 (s) isoleert van H 1 (s)!
Dus nu ga ik het volgende circuit analyseren. Beschouw ons oorspronkelijke circuit:
Voor de eenvoud ga ik R1 = R2 en C1 = C2 maken, anders raakt de wiskunde echt betrokken. Maar we zouden in staat moeten zijn om de feitelijke overdrachtsfunctie af te leiden en deze te vergelijken met onze simulaties voor validatie als we klaar zijn.
Als we zeggen, Z 1 = 1 / sC parallel aan (R + 1 / sC), kunnen we het circuit opnieuw tekenen als:
We weten dat V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); Waar Z 1 een complexe impedantie kan zijn. En als we teruggaan naar ons oorspronkelijke circuit, kunnen we Z 1 = 1 / sC parallel zien met (R + 1 / sC)
We kunnen zien dat Vo / V 1 = 1 / (SRC + 1), dat H 2 (s). Maar H 1 (s) is veel complexer, het is Z 1 / (R + Z 1) waar Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); en is NIET 1 / (sRC + 1)!
Dus laten we nu eens kijken naar de wiskunde voor ons circuit; voor het speciale geval van R1 = R2 en C1 = C2.
We hebben:
V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) 2 R + 2sC) Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1)
En tenslotte
Vo / V in = * = * = * = * = *
Hier kunnen we zien dat:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
niet 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
En..
Vo / V in = H 1 (s) * H 2 (s) = * = 1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1)
We weten dat het -6db-punt (
En we weten dat wanneer de grootte van onze overdrachtsfunctie 0,5 is, we de frequentie -6db hebben.
Dus laten we dat oplossen:
-Vo / V in - = -1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Laten we s = jꙍ, we hebben:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Om de grootte te bepalen, neemt u de vierkantswortel van het kwadraat van de reële en imaginaire termen.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
kwadraat aan beide zijden:
((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Uitbreiden:
1 - 2 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Laat x = (ꙍRC) 2
(x) 2 + 7x - 3 = 0
Gebruik de kwadratische vergelijking om x op te lossen
x = (-7 +/- sqrt (49 - 4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. enige echte antwoord is de +
Onthouden
x = (ꙍRC) 2
x vervangen
(ꙍRC) 2 = (
Ꙍ vervangen door 2
2
f c = (
Lelijk, je gelooft me misschien niet, dus lees verder… Voor het originele circuit heb ik je gegeven:
f c = (
Als we teruggaan naar onze oorspronkelijke simulatie voor dit circuit, zagen we de -6db-frequentie bij ~ 6,331 kHz, wat precies overeenkomt met onze berekeningen!
Simuleer dit voor andere waarden, u zult zien dat de vergelijking correct is.
We kunnen zien dat wanneer we buffer tussen de 1 e orde laagdoorlaatfilters we de vergelijking gebruiken
f c = 1 / (
En als R1 = R2 en C1 = C2 kunnen we de vergelijking gebruiken:
f c = 1 /
Maar als we niet bufferen tussen de twee 1e orde filters, wordt onze vergelijking (gegeven R1 = R2, C1 = C2):
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Waarschuwing, probeer niet te zeggen:
f c = 0,6365 / (
Herinner, H 2 (s) effecten H 1 (s); maar niet andersom, de filters zijn niet symmetrisch, dus ga hier niet van uit!
Dus als je bij je huidige vergelijking blijft, zou ik een circuit aanbevelen dat er meer uitziet:
